Matematica - descompunere in factori

) Metoda factorului comun:

Trebuie identificat, in cazul ca exista, un factor comun al tuturor termenilor expresiei

algebrice date (este recomandabil ca acesta sa fie chiar c.m.m.d.c.).

Exemple:

1) 12x³ + 8x² + 24x = 4x(3x² + 2x + 6);

2) 15x³y² - 3x²y + 12xy = 3xy(5x²y - x + 4);

3) x²(x +2y)³ - 2xy(x + 2y)² + x(x + 2y) = x(x+2y)[x(x + 2y)² - 2y(x + 2y) + 1].

2) Μetoda folosirii formulelor de calcul prescurtat:

Trebuie sesizata, in expresia algebrica data, posibilitatea punerii in evidenta a uneia sau a

mai multor formule de calcul prescurtat, cum ar fi:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;

2) (a - b)² = a² - 2ab + b²;

3) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

4) (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³;

5) a² - b² = (a + b)(a - b);

6) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²);

7) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Observatie:

Vezi alte identitati aici:

Exemple:

1) E1(x) = x² + x - 3 = [x² + 2x·(1/2) + 1/4] - 1/4 - 3 = (x + 1/2)² - 13/4 =

=(x+frac{1+sqrt{13}}{2})(x+frac{1-sqrt{13}}{2});

2) E2(x) = x² - x + 3 = [x² - 2x·(1/2) + 1/4] - 1/4 + 3 =

={(x-frac{1}{2})}^2+{(frac{sqrt{11}}{2})}^2;

(expresia, fiind suma de patrate, este ireductibila).

3);E_3(x)=x^4-x^2+6x-9=x^4-(x^2-6x+9)=x^4-(x-3)^2=

=[x^2-(x-3)]cdot[x^2+(x-3)]=(x^2-x+3)cdot(x^2+x-3).

Tinand cont de ex. 1) si 2) rezulta:

E_3(x)=(x^2-x+3)(x+frac{1+sqrt{13}}{2})(x+frac{1-sqrt{13}}{2});

3) Metoda gruparii termenilor:

Metoda consta in a asocia termenii expresiei date in asa fel incat sa se poata

genera factori comuni.

Exemple:

1) 3x² - xy + 6xz - 2yz = (3x² + 6xz) - (xy + 2yz) = 3x(x + 2z) - y(x + 2z) =

= (x + 2z)(3x - y);

2) x² - xz + yz - y² = (x² - y²) - (xz - yz) = (x - y)(x + y) - z(x - y) = (x - y)(x + y - z).

4) Metode combinate:

Denumirea metodei este sugestiva: pentru realizarea descompunerii

in factori ireductibili, in abordarea unor expresii mai elaborate, este nevoie, deseori,

de a combina succesiv mai multe metode.

Exemple:

1) x² - 7x + 10 = x² - 2x - 5x + 10 = (x² - 2x) - (5x - 10) = x(x - 2) - 5(x - 2) =

= (x - 2)(x - 5);

2) 2x³ + x + 18 = (2x³ + 16) + (x + 2) = 2(x³ + 8) + (x + 2) = 2(x³ + 2³) + (x + 2) =

= 2(x + 2)(x² - 2x + 4) + (x + 2) = (x + 2)(2x² - 4x + 8) + (x + 2) =

= (x + 2)(2x² - 4x + 8 + 1) = (x + 2)(2x² - 4x + 9).

Observatie:

Se poate arata ca factorul 2x² - 4x + 9 este ireductibil, punandu-l sub forma unei

sume de patrate, ca mai sus, in cazul expresiei E3(x).