Q si I < Q, si daca cele doua secvente se apropiau mai mult decat orice valoarea specificata anterior, atunci Q se gasea, sau epuiza, intre S si I. Arhimede a folosit de multe ori metoda epuizarii pentri a-si demonstra teoremele. Acest lucru implica aproximarea figurilor a caror arie trebuia calculata in sectiuni a caror arie era cunoscuta, furnizand astfel limita superioara si inferioara a figurii. Astfel el dovedea ca cele doua limite deveneau egale cand subdiviziunile deveneau arbitrar de mici. Aceste dovezi, considerate inca riguroase si corecte, rareori foloseau geometria cu rezultate precise. Mai tarziu, scriitorii l-au criticat adesea pe Arhimede pentru ca nu a explicat cum a ajuns la aceste rezultate. Aceste explicatii sunt continute in lucrarea Metoda Teoremelor Mecanicii. Metoda pe care o descrie Arhimede se baza pe investigatiile lui din fizica in ceea ce priveste centrul maselor si legea parghiilor. El compara aria sau volumul unei figuri, careia ii cunostea masa si centrul de greutate, cu aria sau volumul unei figuri despre care nu stia nimic. Impartea cele doua figuri in foarte multe parti mici, apoi cantarea pe o parghie fiecare parte a unei figuri cu cea corespunzatoare celei de a doua. Punctul esential este acela ca cele doua figuri sunt orientate diferit, astfel incat partile corespunzatoare se afla la distante diferite de punctul de sprijin, iar conditia de echilbru a partilor nu este aceeasi cu conditia de egalitate a lor. Odata ce arata ca fiecare parte a unei figuri echilibra fiecare parte a celeilalte figuri, concluziona ca cele doua figuri se echilibrau una pe alta. Dar centrul de masa al unei figuri fiind cunoscut, intreaga masa putea fi plasata in centrul ei si ramanea in echilibru. A doua figura avea masa necunoscuta, dar pozitia centrului ei de greutate putea fi aflata prin obtinerea echilibrului fata de punctul de sprijin, ceea ce permitea calculul masei totale a celei de a doua figuri. Arhimede considera metoda ca folositoare euristic, dar intotdeauna a facut-o ca sa dovedeasca rezultatele obtinute prin metoda epuizarii, deoarece metoda nu furniza nici limita inferioara si nici pe cea superioara. Folosind aceasta metoda, Arhimede a fost capabil sa rezolve multe probleme care la ora actuala sunt rezolvate prin calcul integral, dat in forma sa moderna in secolul al 17-lea de Isaac Newton si Gottfried Leibniz. Printre problemele pe care Arhimede le-a rezolvat a fost cea a calculului centrului de greutate al unei emisfere solide, centrul de greutate al unui trunchi al unui paraboloid circular si aria unei zone a parabolei limitata de parabola si o dreapta secanta a ei (vezi tratatul Metoda Teoremelor Mecanicii). Cand a demonstrat riguros teoremele Arhimede a folosit ceea ce azi numim suma lui Riemman. In tratatul Despre Sfera si Cilindru el a dat limita superioara si inferioara pentru suprafata sferei prin taierea sferei in sectiuni de lungimi egale. Asfel a limitat aria fiecarei sectiuni prin aria unui con inscris si unul circumscris, dovedind ca au arie mai mica si respectiv mai mare. Apoi a facut suma ariile conurilor, care sunt sume de tip Riemman pentru zona din sfera considerata ca suprafata de revolutie. Exista doua diferente esentiale intre metoda folosita de Arhimede si ce din secolul XIX: Arhimede nu stia nimic despre diferentiabilitate, deci nu putea calcula nici o integrala, decat acelea date prin considerarea centrului de greutate, adica prin simetrie. Desi avea notiunea de liniaritate, pentru a gasi volumul unei sfere el a echilibrat doua figuri in acelasi timp; dar nu a inteles nici schimbarea de variabile, nici integrarea prin parti. Cand calcula sumele aproximative, el impunea anumite constrangeri pentru ca sumele sa stabileasca cu precizie limita inferioara si superioara. Acest lucru a fost necesar deoarece grecii antici nu aveau metode algebrice cu care puteau stabili daca eroare era mica sau nu. O problema rezolvata exclusiv in lucrarea Metoda Teoremelor Mecanicii este calculul volumului unei pene cilindrice, rezultat care reapare ca teorema XVII (schema XIX), in lucrarea lui Kepler Stereometria. Cateva pagini din tratatul Metoda Teoremelor Mecanicii au ramas nefolosite de autorul manuscrisului si astfel ele sunt pierdute. Intre ele, exista un rezultat care da volumul intersectiei a doi cilindri, o figura pe care Tom M. Apostol si Mamikon Mnatsakanian de la Institutul de Tehnologia din California au redenumit-o globul lui Arhimede cu n = 4 (iar jumatatea lui cupola lui Arhimede cu n = 4), al carui volum se refera la piramida n-poligonala. In timpul lui Johan Heiberg, a fost acordata o mai mare atentie folosirii stralucite a calculului infinitezimal de catre Arhimede, pentru a solutiona problemele referitoare la arii, volume si centre de greutate, si mai putina atentie a fost acordata jocului logic Stomachion, o problema tratata in manuscris care pare a fi un joc de copii. Reviel Netz de la Universitatea Stanford a argumentat ca Arhimede discuta despre numarul de moduri in care se poate rezolva problema, adica de a pune piesele la locul lor in patrat. Nu au fost identificate piese avand aceasta forma; nu s-au gasit regulile de plasament al lor; daca este permisa sau nu intoarcerea pieselor cu fata in jos, existand dubii asupra figurii. Figura prezentata aici de Netz, este una propusa de Suter dintr-o traducere a unui text arab in care egalul si de doua ori sunt usor de confundat. De asemenea Suter a facut cel putin o gresala topologica intr-un punct crucial, egaland lungimea unei laturi cu diagonala, caz in care figura nu mai poate fi patrat. Dar, deoarece diagonalele unui patrat se intersecteaza in unghi drept, prezenta triunghiurilor dreptunghice face ca prima propozitie din Stomachion sa rezulte imediat. Mai exact, prima propozitie asambleaza o figura constand din doua patrate alaturate (ca intr-un Tangram). O reconsiderare a figurii lui Suter cu figura din Codex a fost publicata de Richard Dixon Oldham, in revista Nature din martie 1926, ceea ce a creat o manie Stomachion in acel an. Combinatorica moderna a dezvaluit ca numarul de moduri in care piesele lui Suter pot fi asamblate pentru a se obtine un patrat este de 17152. Numarul este mult mai mic – 64 – daca nu este permica intoarcerea pieselor cu fata in jos. Unghiurile ascutie ale figurii lui Suter fac dificila asamblarea, in timp ce jocul poate fi incomod daca piesele cu puncte ascutite sunt intoarse cu fata in jos. Pentru figura din Codex exista trei moduri de a grupa piesele; ca doua patrate alaturate lateral; ca doua patrate unul deasupra celuilalt; sau ca un singur patrat cu latura radical din doi. Dar cheia acestor grupari este formarea de triunghiuri isoscele drepte, asa cum, luandu-l in consideratie Meno al lui Plato, Socrate a obtinut copilul sclav, sustinand cunoasterea prin amintire, si aici recunoasterea modelului din memorie pare a fi mult mai pertinent decat numarul de solutii. Figura din Codex poate fi considerata ca o extensie a argumentului lui Socrate intr-o grila patrata de sapte pe sapte, sugerand o constructie cu un numar de diametre care sa dea o aproximare rationala a numarului radical din doi, iar starea fragmentata a manuscrisului lasa multe dubii. Dar cu siguranta se adauga misterului daca Arhimede a folosit prioritar figura lui Suter fata de figura din Codex. Totusi, daca Netz are dreptate, acest lucru este cea mai sofisticata lucrare de combinatorica din Grecia antica." />

 

Cauta:   

 

 
Din aceeasi categorie

 
  Manuscrisul lui Arhimede,descifrat dupa 2200 de ani 2/3
279 vizite - 0 comentarii
adaugat de paul
 
  Manuscrisul lui Arhimede,descifrat dupa 2200 de ani 3/3
244 vizite - 0 comentarii
adaugat de paul
 
  Arhimede si arma mortala
489 vizite - 0 comentarii
adaugat de paul
 
  Arhimede – Evrika! - O descoperire facuta in baie
384 vizite - 0 comentarii
adaugat de paul
 
  Apocalipsa dupa Cioran - 1990 / Part 4
1.607 vizite - 0 comentarii
adaugat de oana
 
  Apocalipsa dupa Cioran - 1990 / Part 1
976 vizite - 0 comentarii
adaugat de oana
 
  Apocalipsa dupa Cioran - 1990 / Part 5
452 vizite - 0 comentarii
adaugat de Cozana
 
  Povestea lui Dumnezeu / Subtitrat / Episod 6
141 vizite - 0 comentarii
adaugat de Cozana
 
  Patimile si invierea Lui Hristos
538 vizite - 0 comentarii
adaugat de alecu
 
  Apocalipsa dupa Cioran - 1990 / Part 3
1.307 vizite - 0 comentarii
adaugat de zaharia
 
 
recomandam

 

complete_1

 

complete_1

 

complete_1

 

complete_1

 

 
 
AnuntulVideo >> Cultura >> Educatie
 

 

Manuscrisul lui Arhimede,descifrat dupa 2200 de ani 1/3

 
 
 
 
Adaugat de paul 08.10.2016  Adauga la favorite 411 vizualizari

Nota film: 0 / 5 (0 voturi)
   
 
Manuscrisul lui Arhimede este un manuscris pe pergament sub forma de codex. Acesta a fost initial o copie a unei alte lucrari necunoscute ale lui Arhimede din Siracuza si a altor autori, fiind rescrisa cu un text religios.

Arhimede a trait in secolul al 3-lea i.Hr, dar copia este o lucrare facuta in secolul al 10-lea d.Hr. de un scrib anonim. In secolul al 12-lea codexul original al lui Arhimede a fost dezlegat, razuit si spalat, impreuna cu alte sase manuscrise pe pergament, incluzand si una din lucrarile lui Hypereides. Apoi aceste pergamente au fost indote pe jumatate si refolosite pentru un text liturgic crestin de 177 de pagini, astfel incat o foaie veche a fost impartita in doua foi noi de carte liturgica. Razuirea nu a fost completa, iar manuscrisul lui Arhimede poate fi citit acum dupa lucrarile stiintifice si academice din 1998-2008, obtinute prin procesarea imaginilor manuscrisului cu raze ultraviolete, infrarosii, vizibile si raze-X.[1][2]

In 1906 manuscrisul a fost sumar inspectat de filologul danez Johan Ludvig Heiberg. Cu ajutorul unor fotografii alb-negru pe care le-a luat, el apublicat o transcriere a textului lui Arhimede. La scurt timp textul din greaca a fost tradus in engleza de T.L. Heath. Inainte de descoperirea lui, manuscrisul nu era cunoscut printre matematicieni, fizicieni sau istorici.

Manuscrisul contine:

"Echilibrul Planelor"
"Linii Spirale"
"Masurarea Cercului"
"Despre Sfera si Cilindru"
"Despre Plutirea Corpurilor" (singura copie cunoscuta, in greaca)
"Metoda Teoremelor Mecanice" (singura copie cunoscuta)
"Stomachion" (singura copie cunoscuta)

Manuscrisul mai contine cuvantarile politicianului Hypereides, care a trait in secolul al 4-lea d.Hr, comentariile lui Alexandru din Aphrodisias aspura Categoriilor lui Aristotel, precum si alte lucrari.


Continutul matematic:

Cea mai remarcabila lucrare din cele de mai sus este Metoda Teoremelor Mecanicii, iar manuscrisul contine singura copie cunoscuta.

In operele sale, Arhimede demonstreaza de multe ori egalitatea a doua arii sau a doua volume folosind metoda epuizarii a lui Eudoxus, metoda folosita in Grecia antica, similara cu metoda moderna de trecere la limita. Deoarece grecii erau constienti ca unele numere erau irationale, notatia lor pentru numere reale era cantitatea Q aproximata prin doua secvente, una dand limita superioara, iar cealalta limita inferioara. Daca se gaseau doua secvente S si I, cu S > Q si I < Q, si daca cele doua secvente se apropiau mai mult decat orice valoarea specificata anterior, atunci Q se gasea, sau epuiza, intre S si I.

Arhimede a folosit de multe ori metoda epuizarii pentri a-si demonstra teoremele. Acest lucru implica aproximarea figurilor a caror arie trebuia calculata in sectiuni a caror arie era cunoscuta, furnizand astfel limita superioara si inferioara a figurii. Astfel el dovedea ca cele doua limite deveneau egale cand subdiviziunile deveneau arbitrar de mici. Aceste dovezi, considerate inca riguroase si corecte, rareori foloseau geometria cu rezultate precise. Mai tarziu, scriitorii l-au criticat adesea pe Arhimede pentru ca nu a explicat cum a ajuns la aceste rezultate. Aceste explicatii sunt continute in lucrarea Metoda Teoremelor Mecanicii.

Metoda pe care o descrie Arhimede se baza pe investigatiile lui din fizica in ceea ce priveste centrul maselor si legea parghiilor. El compara aria sau volumul unei figuri, careia ii cunostea masa si centrul de greutate, cu aria sau volumul unei figuri despre care nu stia nimic. Impartea cele doua figuri in foarte multe parti mici, apoi cantarea pe o parghie fiecare parte a unei figuri cu cea corespunzatoare celei de a doua. Punctul esential este acela ca cele doua figuri sunt orientate diferit, astfel incat partile corespunzatoare se afla la distante diferite de punctul de sprijin, iar conditia de echilbru a partilor nu este aceeasi cu conditia de egalitate a lor.

Odata ce arata ca fiecare parte a unei figuri echilibra fiecare parte a celeilalte figuri, concluziona ca cele doua figuri se echilibrau una pe alta. Dar centrul de masa al unei figuri fiind cunoscut, intreaga masa putea fi plasata in centrul ei si ramanea in echilibru. A doua figura avea masa necunoscuta, dar pozitia centrului ei de greutate putea fi aflata prin obtinerea echilibrului fata de punctul de sprijin, ceea ce permitea calculul masei totale a celei de a doua figuri. Arhimede considera metoda ca folositoare euristic, dar intotdeauna a facut-o ca sa dovedeasca rezultatele obtinute prin metoda epuizarii, deoarece metoda nu furniza nici limita inferioara si nici pe cea superioara.

Folosind aceasta metoda, Arhimede a fost capabil sa rezolve multe probleme care la ora actuala sunt rezolvate prin calcul integral, dat in forma sa moderna in secolul al 17-lea de Isaac Newton si Gottfried Leibniz. Printre problemele pe care Arhimede le-a rezolvat a fost cea a calculului centrului de greutate al unei emisfere solide, centrul de greutate al unui trunchi al unui paraboloid circular si aria unei zone a parabolei limitata de parabola si o dreapta secanta a ei (vezi tratatul Metoda Teoremelor Mecanicii).

Cand a demonstrat riguros teoremele Arhimede a folosit ceea ce azi numim suma lui Riemman. In tratatul Despre Sfera si Cilindru el a dat limita superioara si inferioara pentru suprafata sferei prin taierea sferei in sectiuni de lungimi egale. Asfel a limitat aria fiecarei sectiuni prin aria unui con inscris si unul circumscris, dovedind ca au arie mai mica si respectiv mai mare. Apoi a facut suma ariile conurilor, care sunt sume de tip Riemman pentru zona din sfera considerata ca suprafata de revolutie.

Exista doua diferente esentiale intre metoda folosita de Arhimede si ce din secolul XIX:

Arhimede nu stia nimic despre diferentiabilitate, deci nu putea calcula nici o integrala, decat acelea date prin considerarea centrului de greutate, adica prin simetrie. Desi avea notiunea de liniaritate, pentru a gasi volumul unei sfere el a echilibrat doua figuri in acelasi timp; dar nu a inteles nici schimbarea de variabile, nici integrarea prin parti.
Cand calcula sumele aproximative, el impunea anumite constrangeri pentru ca sumele sa stabileasca cu precizie limita inferioara si superioara. Acest lucru a fost necesar deoarece grecii antici nu aveau metode algebrice cu care puteau stabili daca eroare era mica sau nu.
O problema rezolvata exclusiv in lucrarea Metoda Teoremelor Mecanicii este calculul volumului unei pene cilindrice, rezultat care reapare ca teorema XVII (schema XIX), in lucrarea lui Kepler Stereometria.

Cateva pagini din tratatul Metoda Teoremelor Mecanicii au ramas nefolosite de autorul manuscrisului si astfel ele sunt pierdute. Intre ele, exista un rezultat care da volumul intersectiei a doi cilindri, o figura pe care Tom M. Apostol si Mamikon Mnatsakanian de la Institutul de Tehnologia din California au redenumit-o globul lui Arhimede cu n = 4 (iar jumatatea lui cupola lui Arhimede cu n = 4), al carui volum se refera la piramida n-poligonala.

In timpul lui Johan Heiberg, a fost acordata o mai mare atentie folosirii stralucite a calculului infinitezimal de catre Arhimede, pentru a solutiona problemele referitoare la arii, volume si centre de greutate, si mai putina atentie a fost acordata jocului logic Stomachion, o problema tratata in manuscris care pare a fi un joc de copii. Reviel Netz de la Universitatea Stanford a argumentat ca Arhimede discuta despre numarul de moduri in care se poate rezolva problema, adica de a pune piesele la locul lor in patrat. Nu au fost identificate piese avand aceasta forma; nu s-au gasit regulile de plasament al lor; daca este permisa sau nu intoarcerea pieselor cu fata in jos, existand dubii asupra figurii.

Figura prezentata aici de Netz, este una propusa de Suter dintr-o traducere a unui text arab in care egalul si de doua ori sunt usor de confundat. De asemenea Suter a facut cel putin o gresala topologica intr-un punct crucial, egaland lungimea unei laturi cu diagonala, caz in care figura nu mai poate fi patrat. Dar, deoarece diagonalele unui patrat se intersecteaza in unghi drept, prezenta triunghiurilor dreptunghice face ca prima propozitie din Stomachion sa rezulte imediat.

Mai exact, prima propozitie asambleaza o figura constand din doua patrate alaturate (ca intr-un Tangram). O reconsiderare a figurii lui Suter cu figura din Codex a fost publicata de Richard Dixon Oldham, in revista Nature din martie 1926, ceea ce a creat o manie Stomachion in acel an. Combinatorica moderna a dezvaluit ca numarul de moduri in care piesele lui Suter pot fi asamblate pentru a se obtine un patrat este de 17152. Numarul este mult mai mic – 64 – daca nu este permica intoarcerea pieselor cu fata in jos. Unghiurile ascutie ale figurii lui Suter fac dificila asamblarea, in timp ce jocul poate fi incomod daca piesele cu puncte ascutite sunt intoarse cu fata in jos. Pentru figura din Codex exista trei moduri de a grupa piesele; ca doua patrate alaturate lateral; ca doua patrate unul deasupra celuilalt; sau ca un singur patrat cu latura radical din doi.

Dar cheia acestor grupari este formarea de triunghiuri isoscele drepte, asa cum, luandu-l in consideratie Meno al lui Plato, Socrate a obtinut copilul sclav, sustinand cunoasterea prin amintire, si aici recunoasterea modelului din memorie pare a fi mult mai pertinent decat numarul de solutii. Figura din Codex poate fi considerata ca o extensie a argumentului lui Socrate intr-o grila patrata de sapte pe sapte, sugerand o constructie cu un numar de diametre care sa dea o aproximare rationala a numarului radical din doi, iar starea fragmentata a manuscrisului lasa multe dubii.

Dar cu siguranta se adauga misterului daca Arhimede a folosit prioritar figura lui Suter fata de figura din Codex. Totusi, daca Netz are dreptate, acest lucru este cea mai sofisticata lucrare de combinatorica din Grecia antica.


 

Semnaleaza o problema

 

* Nota: Filmele cu / fara subtitrare sunt preluate din youtube.com
  Introdu codul din imagine

Trimite

 
 
Afiseaza playlist (total video: 0)